Euklid sagt in Buch IX, Prop. 36:

Ist 1+2+…+2n eine Primzahl, dann ist 2n(1+2+…+2n) eine vollkommene Zahl.

Unter einer vollkommenen Zahl versteht man eine Zahl wie 6 oder 28, die die Summe ihrer (echten) Teiler ist: 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14. Diese beiden Zahlen sind auch die ersten nach dem Schema von Euklid, denn 1+2=3 ist eine Primzahl ebenso wie 1+2+4=7, und es ist 2·(1+2)=6 sowie 4·(1+2+4)=28.

Die nächste Zahl in der geometrischen Reihe 1+2+4+8=15 ist keine Primzahl.
Aber die darauf folgende Zahl 1+2+4+8+16=31 ist eine Primzahl, weshalb entsprechend Euklids Behauptung 16·(1+2+4+8+16)=16·31=496 eine vollkommene Zahl ist. Um das einzusehen, müssen wir die Teiler dieser Zahl (16·31) addieren. Doch zuvor müssen wir sie erst herausfinden. Dabei unterscheiden wir zwei Gruppen von Teilern dieser Zahl:

Die Summe aller Teiler ist also: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 31·2 + 31·4 + 31·8
=1 + 2 + 4 + 8 + 16+31·(1 + 2 + 4 + 8)
=25 - 1+31·(24 - 1)
=31+31·15
=31·(1 + 15)
=31·16
=496
Also ist 496 die Summe der Teiler dieser Zahl und somit eine vollkommene Zahl. Das Vorgehen bei diesem Beispiel lässt sich verallgemeinern, und man erhält so Euklids Beweis.

Übrigens ist 496 eine Dreieckszahl (so wie jede gerade vollkommene Zahl):

496  =  16·31  =  32·31  =   1 + 2 + 3 + 4 + … + 31
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