Inhalte mathematischen Lernens

Mathematikunterricht steht leicht in der Gefahr, in ein unstrukturiertes Abarbeiten von Aufgaben abzugleiten, wenn Kriterien fehlen, um entscheiden zu können, welche Inhalte und welche Verfahren mehr und welche weniger bedeutungsvoll sind.

Deshalb müssen die Inhalte mathematischen Lernens zunächst in engem Zusammenhang mit dem dargestellten Gesamtkonzept des Lernens gesehen werden. Zum anderen kommt es bei Auswahl, Anordnung und Akzentuierung der Inhalte darauf an, sich an fundamentalen Ideen der Mathematik zu orientieren; sie für das jetzige wie für das zukünftige Handeln von gleichbleibend großer Bedeutung sind.

Im didaktischen Konzept eines Rahmenplanes haben deshalb fundamentalen Ideen der Mathematik eine wichtige Funktion als Orientierungshilfe.

Stellenwertdarstellung von Zahlen,
Symmetrie,
Algorithmus,
Messung ,
Näherung,
Funktion,
Teil-Ganzes-Relation,

sie sind Beispiele für fundamentale Ideen, die in der Grundschulmathematik eine Rolle spielen. Als stark miteinander vernetzte mathematische Konzepte können sie zu einem besseren Verständnis der Mathematik und der realen Welt führen. Darin sind sie den traditionellen Inhaltsbereiche Geometrie, Arithmetik, Sachrechen/Größen, die stark in sich abgegrenzt sind, weit überlegen.
Fundamentalen Ideen wirken wie Magnetfelder; sie strukturieren einerseits die Vielfalt der Details und schaffen Ordnung und Übersicht. Darüberhinaus erschließen sie Sinn und Bedeutung. Somit wird das Erkennen und Verstehen von Zusammenhängen erleichtert. Fundamentale Ideen lassen sich im Unterricht anhand unterschiedlicher mathematischer Fragestellungen und auf verschiedenen Niveaustufen immer wieder aufgreifen. Zugleich öffnen sie Übergänge zu angrenzenden Lernfeldern wie z.B. dem Sachunterricht oder der Musik. Damit verknüpfen sie mathematische und außermathematische Phänomene in inhaltlich sinnvoller Weise. Sie eröffnen für die Unterrichtsgestaltung neue interessante Bezüge als fächerübergreifende Arbeitsvorhaben und können damit einen Beitrag zum Ordnen von Welt leisten.

Da die Fundamentalen Ideen keine in sich klar gegeneinander abgegrenzten Bereiche darstellen, ist es wichtig, dass unter Lehrkräften immer wieder darüber gesprochen wird, worauf es im Mathematikunterricht wirklich ankommt, und welche Fragestellungen und Unterrichtsvorhaben sich besonders eignen, entdeckendes Lernen zu ermöglichen um den strukturellen Kern der Mathematik zu erschließen.

Fundamentale Ideen in der Grundschule

Professor Heinrich Winter, Aachen

	Allgemeinere Anmerkungen zu Fundamentalen Ideen (FI)
	Stellenwertdarstellung von Zahlen
	Das Besondere, Fundamentale an der Stellenwertdarstellung von Zahlen als Symbolik ist ihre höchst effiziente Systematik. Mit einer endlichen Anzahl von Ziffern (in unserem Dezimalsystem zehn) kann jede Zahl (bis ins Unendliche) unter Nutzung des Schreibraumes (Stelle) eindeutig dargestellt werden. Die Kinder können hier eine Ahnung von der Unendlichkeit der Zahlenwelt verspüren. Darüber hinaus bleibt die Stellenwertdarstellung von natürlichen Zahlen in der GS als fundamentale Symbolik in den Zahlbereichserweiterungen der Sekundarstufen erhalten.
	Symmetrie (und Symmetriebrechung)
	Die Symmetrie ist eine weit zu fassende Idee, sie ist sozusagen kosmisches Prinzip. Überall, wo Muster erkennbar sind, liegt ein Symmetriephänomen vor. Neben den räumlichen und arithmetischen Mustern sind die zeitlichen Muster (Rhythmus von Tag und Nacht, Rhythmus der Jahreszeiten, ...) besonders wichtig. Ferner sind z.B. auditive Muster in der Musik und motorische Muster im Tanz zu finden. In der Mathematik manifestiert sich die Symmetrie am augenfälligsten in geometrischen Formen. Aber auch die Arithmetik beruht häufig auf Symmetrie (gerade und ungerade Zahlen, Quadratzahlen, ...).
	Algorithmus
	Algorithmen (Vorgehenspläne) sind nicht nur in der Mathematik vorherrschend, sondern auch im beruflichen und alltäglichen Leben. Beispiele für alltägliche Algorithmen sind: Telefonieren, Einkaufen, Kaffee kochen, ... Wer in seinem Beruf die für seine Arbeit wichtigen Algorithmen routinisiert hat und sicher beherrscht, gilt als Profi und Experte. In der Mathematik der GS bilden die Verfahren des mündlichen, halbschriftlichen und schriftlichen Rechnens das Zentrum des algorithmischen Arbeitens. Hierbei kommt es auf das möglichst eigenständige Erarbeiten, Begründen, Modifizieren und Bewerten von algorithmischen Prozessen an.
	Messung
	Auch das Messen, das Maß gehören zum Alltag, wie zahlreiche alltägliche Begriffe zeigen: abmessen, unangemessen, vermessen, maßvoll, maßlos, unermesslich, ... Im Mathematikunterricht der GS ist Messen die unverzichtbare Basis zum Aufbau von Größenbegriffen und damit für das Verstehen von Phänomenen unserer Welt.
	Näherung (Approximation)
	Hier geht es um Begriffe wie Nachbarschaft, Umgebung, Begrenzung, Beschränkung, Zusammenhang u.ä., also Begriffe, die sowohl in der Alltagserfahrung Bedeutung haben als auch in verschiedener Weise mathematisch ausdifferenziert werden können (z.B. Überschlagen, Runden (Ab-) Schätzen von Lösungen; Rechnen mit Näherungswerten, Durchschnittswerten, zufallsbehafteten, schwankenden Werten; benachbarte Seitenflächen, zusammenstoßende Kanten, Randpunkte, Umgebungen, Umfänge, ...).
	Funktion
	Funktionen (Zuordnungen) spielen sowohl in der Mathematik als auch im Alltag eine herausragende Rolle. Sie beschreiben die Beziehung bzw. die Abhängigkeit, die zwischen zwei Elementen einer (oder verschiedener) Mengen besteht (jeder Zahl ihr Doppeltes, jedem Quadrat sein Flächeninhalt, jeder Ware ihren Preis, jedem Menschen sein Alter, jedem Zeitpunkt des Tages eine Zeigerstellung auf der Uhr usw.). Sicherlich kann man in der Grundschule nicht zu einer Klärung des Funktionsbegriffs kommen, aber der Mathematikunterricht sollte in Inhalt und Gestaltung von der Idee der Funktion durchdrungen sein.
	Teil-Ganzes-Relation
	Hier handelt es sich um eine fundamentale Idee, die mit grundlegenden logischen und heuristischen Fragestellungen zu tun hat, die in verschiedenen mathematischen Gebieten auftreten und auch im alltäglichen Handeln eine Rolle spielen. Immer, wenn es um eine Gesamtheit von Objekten irgendeiner Art geht, etwa um eine Menge von Menschen, versucht man darin Strukturen, Muster, Auffälligkeiten zu erkennen. Eine fundamentale Frage ist dabei, inwieweit sich Objekte durch bestimmte Eigenschaften (Merkmale) von anderen der Gesamtheit unterscheiden. Z.B.: Wie viele der Kinder in der Klasse sind schon 8 Jahre alt? Wer ist im Sportverein? Und auf die Mathematik bezogen: Welche Zahlen sind durch 7 teilbar? Welche sind durch 5, aber nicht durch 8 teilbar? Usw. Wesentlich ist dabei, dass Zusammenhänge aufgedeckt werden (z.B. wenn eine Zahl durch 8 teilbar ist, ist sie auch durch 4 teilbar).

Allgemeinere Anmerkungen zu Fundamentalen Ideen (FI)

Meines Wissens gibt es bisher weder eine allseits akzeptierte Definition von FI noch eine mehrheitlich akzeptierte Liste von FI. Immerhin gibt es interessante Gemeinsamkeiten in den Listen verschiedener Autoren. Diese fehlende Übereinstimmung liegt m.E. in der Natur der Sache, sie ist auch nicht so beklagenswert, wie es aussehen könnte. Wichtig ist, dass immer wieder öffentlich darüber nachgedacht und gestritten wird, worauf es denn im Mathematikunterricht wirklich ankommen soll, was den Kern ausmacht.

Der MU aller Stufen gerät bekanntlich leicht in die Gefahr , in ein graues unstrukturiertes Abarbeiten von Aufgaben abzugleiten. Es ist kein "geistiges Band" zu erkennen, deshalb bleibt das Verständnis auf der Strecke, die gelernten Verfahren werden schnell vergessen, ganz zu schweigen vom Mangel an intellektueller Faszination. Man darf nicht vergessen, dass der gegenwärtige MU weithin gerade die geistig regsamen Schülerinnen eher abstößt als fasziniert (vgl. dazu Enzensberger, H.M.: Zugbrücke außer Betrieb, Peters Verlag, Natick 1999).

Allerdings wäre eine Liste begründeter und akzeptierter FI kein pädagogischer Selbstläufer und kein Allheilmittel zu Verbesserung des MU. Ihr Hauptzweck liegt wohl darin, die Lehrerinnen dafür zu gewinnen, sich immer mehr bewusst zu werden, was denn im MU wesentlich, zentral, fundamental sein soll, und sich immer stärker zu befähigen, den FI im täglichen Unterricht Geltung zu verschaffen. Ob die FI eine ernsthafte Antwort auf das Problem der Stofffülle sind, bleibt noch abzuwarten.

Die Diskussion um Begriff und Funktion von FI begann bei uns im Zuge der Rezeption des Buches
Bruner, S.J. : Der Prozess der Erziehung, Berlin Verlag 1970,
das im übrigen auch heute noch lesenswert ist. Bruner fordert, dass in jedem Schulfach die tragenden Ideen der jeweiligen wissenschaftlichen Disziplin vermittelt werden müssen. Die besten Fachleute sollten diese Ideen formulieren. Er hat keinen Zweifel daran, dass ein solcher Unterricht realisierbar ist. "Jedes Kind kann auf jeder Entwicklungsstufe jeder Lehrgegenstand in einer intellektuell ehrlichen Form erfolgreich gelehrt werden." (Bildungseuphorie in reiner Form!)

Im deutschsprachigen Raum ist die Diskussion um FI besonders von Schreiber und Schweiger mit Blick auf den MU weiter gebracht worden.
Schreiber, A: Universelle Ideen im mathematischen Denken - ein Forschungsgegenstand der Fachdidaktik, in: mathematica didactica 2 (1979) S.165- 171
Schreiber, A.: Bemerkungen zur Rolle universeller Ideen im mathematischen Denken, in: mathematica didactica 6 (1983) S.65- 76
Schweiger, F.: Fundamentale Ideen. Eine geistesgeschichtliche Studie zur Mathematikdidaktik, in: Journal für Mathematikdidaktik 13 (1992), Heft2/3, S.199- 244

Nach Schreiber sollen sich FI durch
- Weite (logische Allgemeinheit)
- Fülle (vielfliltige Anwendbarkeit) und
- Sinn (Verankerung im Alltagsleben)
auszeichnen. Diese Kriterien sind zwar vage aber doch wohl intuitiv verständlich und griffig, also recht gut für die Diskussion geeignet. Schreiber nennt folgende sechs FI:

- Algorithmus
- Exhaustion (Aproximation, Messung)
- Invarianz
- Optimalität
- Funktion
- Charakterisierung

Schweiger gibt einen sehr informativen Überblick über die Geschichte der einschlägigen Diskussion, ein lesenswerter Beitrag!

Allerdings: es gibt m. W. keine grundschulspezifischen Arbeiten über das Thema.
Die von der OECD vorgeschlagenen Leitideen (die ja schon Eingang in Lehrpläne gefunden haben, z.B. SII-Lehrplan in NRW) sind in meinem Verständnis keine FI, vielmehr benennen sie (vielleicht im Anschluss an I. Stewart) Arbeitsgebiete oder besser Quellgebiete der Mathematik. Seit Pythagoras sind das mit unterschiedlichen Akzentuierungen die folgenden 4 (in Klammem die zugehörigen Disziplinen des Quadriviums)

- Zahl (Arithmetik)
- Gestalt (Geometrie)
- Harmonie/Ordnung (Musik)
- Bewegung (Astronomie)

Seit dem 17. Th. gibt es als 5. Quellgebiet

- Zufall (Stochastik)

Diese "universellen Ideen" markieren allenfalls Teilgebiete, die in der Schule Berücksichtigung finden sollen.

Stellenwertdarstellung von Zahlen

Zahlen als gedankliche Objekte sind uns nur in Symbolen verfügbar. Das gilt natürlich auch für die natürlichen Zahlen, die in der GS die Hauptrolle spielen. Freilich gibt es unerschöpflich viele Verkörperungen, Repräsentationen, anschauliche Bilder von Zahlen, die auch notwendig sind zur Sinnerfassung und die die Anwendungsfähigkeit zum Ausdruck bringen. Zahlen gehen nicht durch Abstraktionen aus der Wirklichkeit hervor, sie werden eher in reale Konstellationen hinein gedeutet. Das geht aber nur, wenn man für das gemeinte Gedankending einen Namen, ein Symbol hat.
Symbole gehören ganz allgemein zur Kultur des Menschen (und nicht zu seiner biologischen Natur). Durch die Schaffung von Symbolen und ihre Verwendung wird Kommunikation, Gedächtnis (Wissen) und Begriffsbildung möglich. Der Mensch ist wesentlich ein symbolverarbeitendes Wesen.
Die Geschichte der Mathematik belegt, dass das Ringen um die Schöpfung von Zahlbegriffen untrennbar mit dem Ringen um eine geeignete Symbolik verbunden gewesen ist, wenn auch die Anfänge im Dunkeln liegen. Einige Historiker halten es für möglich, dass sich Zahlzeichen früher entwickelt haben als Schriftzeichen der allgemeinen Sprache. Unersetzbare Lektüre für den historischen Aspekt ist nach wie vor
Menninger, K. : Zahlwort und Ziffer - Eine Kulturgeschichte der Zahl, Vandenhoeck & Ruprecht 1958
Bemerkenswert ist, wie vergleichsweise spät sich das dezimale Stellenwertsystem weltweit durchgesetzt hat. Noch zu Zeiten von Adam Riese gab es die Zweiteilung: Einerseits Rechnen mit Steinchen (calculi) auf dem Rechenbrett (Abakus), andererseits schriftliche Notation mit römischen Ziffern, also einerseits Bündelungsdenken und andererseits eher Reihungsdenken. Wir werden heute in die übliche dezimale Stellenwertsymbolik, die ja auch bei den meisten Größen verwandt wird, hineingeboren und halten sie für selbstverständlich, fast für natürlich. Und das zeigt auch ein Problem für den MU in der GS an: Die Kinder sind von Haus aus schon an den Gebrauch unserer Zifferndarstellung (wenn auch nur oberflächlich) gewöhnt, so dass besondere Anstrengungen notwendig sind, sie von der wunderbaren Systematik und enormen Leistungsfähigkeit unserer Stellenwertdarstellung zu überzeugen. Ein wesentlicher Aspekt ist dabei die unersetzbare Rolle der Null, und zwar in jedem Stellenwertsystem. Viele Historiker halten die Erfindung der Null für die wichtigste in den letzten 2000 Jahren. Sehr empfehlenswerte Lektüre über die Null:
Kaplan, R.: Die Geschichte der Null, Campus Verlag 1999

Mit Recht werden Lesen, Schreiben und Rechnen als die grundlegenden Kulturtechniken bezeichnet, und sie werden immer den Kern des Curriculums der GS ausmachen. In allen drei Fällen geht es darum, Symbolsysteme kennen und gebrauchen zu lernen.

Das Besondere an der schriftlichen Stellenwertdarstellung von Zahlen als Symbolik ist ihre nicht mehr verbesserbare Systematik, die auch die Grundlage ihrer hochgradigen Effizienz darstellt: Allein mit einer endlichen Zahl von Grundzeichen -Ziffern -(mindestens zwei, bei uns im Dezimalsystem zehn) wird jede Zahl unter Nutzung des Schreibraumes (Stelle!) als Komplex von Ziffern so dargestellt, dass aus der Darstellung Information über die dargestellte Zahl gewonnen werden kann. Die Kodierung von Wissen über Zahlen in die Ziffernsprache wie umgekehrt, das Dekodieren von "Texten" in der Ziffernsprache, also das Verstehen der Texte, sind Grundaufgaben im MU der GS.

Die hohe Effizienz der Stellenwertdarstellung zeigt sich vor allem im mündlichen, halbschriftlichen und - in reiner Form - schriftlichen Rechnen. Ein unersetzbares didaktisches Mittel, Stellenwertdarstellung und stellenwertgerechtes Rechnen zu verstehen und am Verständnisgewinn aktiv beteiligt zu sein, ist der Gebrauch des Rechenbrettes (Abakus) - unabhängig vom historischen Aspekt. Dieses Abakusrechnen ist der enaktive Umgang mit Zahlen in der Stellenwertdarstellung, man kann den Abakus als einen einfachen aber durchsichtigen Computer ansehen. Viele Anregungen gibt es in
Johann, M./N. Matros: Wechselspiele - Kreatives Rechnen am Schulabakus, Knecht Verlag 2001

Die Verbindung Stellenwertsystem - stellenwertgerechtes Rechnen - Computer - Algorithmus belegt in besonderer Weise das Fundamentale. Nebst dem Abakus können und sollten weitere maschinenartige Realisationen genutzt werden, etwa der "Kilometerzähler".

Das kreative Moment in der scheinbar knochentrockenen Stellenwertdarstellung müsste viel stärker als bisher zur Geltung kommen, etwa durch Aufgaben der Art: Was fällt dir an den Quadratzahlen (genauer: am Ziffernwort/Schriftbild der Quadratzahlen) auf ? Betrachte die Einerstelle. - Wie erkennst du am Schriftbild, ob eine Zahl durch 2,3,4,5, ...teilbar ist? - Kann man 100 als Summe von Zahlen darstellen, wobei aber jede Ziffer genau einmal auftritt? - Wie viele dreistellige Zahlen gibt es, in denen nicht die Ziffer 7 vorkommt? - Wieso treten im Einmaleins der 3 alle Ziffern an der Einerstelle auf? Bei welchen Reihen ist das auch so/nicht so? Usw.

Ein spezieller Aspekt des kreativen Potenzials des Stellenwertsystems: Schülerinnen können eine Ahnung von der Unendlichkeit der Zahlenwelt verspüren. Dass es keine größte Zahl geben kann, man immer noch größere Zahlen angeben kann (obwohl es nur 10 Ziffern gibt!), garantiert das Symbolsystem, es ist unerschöpflich. Nach heutiger Einschätzung gibt es im gesamten Weltall 1080 (1 mit 80 Nullen) langlebige Elementarteilchen, das ist aber bedeutend weniger als 1081 und immer noch nichts gegenüber Unendlich.

Schließlich: Die Stellenwertdarstellung von natürlichen Zahlen in der GS bleibt als fundamentale Symbolik in den Zahlbereichserweiterungen der Sekundarstufen erhalten.

Symmetrie (und Symmetriebrechung)

Symmetrie kommt als FI in vielen Vorschlägen vor. Und in der Tat handelt es sich um eine Idee, deren Weite, Fülle und Sinn besonders eingängig dargestellt werden kann.
Symmetrie (und gebrochene Symmetrie, Asymmetrie) ist geradezu ein kosmisches Prinzip.
Sie zeigt sich - grob gesagt - in der Wiederholung von Gleichartigem (griech. symmetros = gleichmäßig). Offenbar ist unser Wahrnehmen von Erscheinungen der Welt um uns stark geprägt von unserer Fähigkeit, sensorische Eindrücke in zu vergleichende Teile zu gliedern. Wahrnehmen ist Erkennen von gegliederten Gestalten, von Mustern.
Am augenfälligsten und prototypisch manifestiert sich Symmetrie in geometrischen Gestalten, und dabei insbesondere in der bilateralen Symmetrie ebener und räumlicher Gebilde.
Aber Symmetrie ist eine viel weiter gefasste (weiter zu fassende) Idee: Überall, wo Muster zu erkennen sind oder erkennbar gemacht werden können, liegt ein Symmetriephänomen vor. Besonders wichtig nach den räumlichen sind zeitliche Muster, etwa der Rhythmus von Tag und Nacht, der Rhythmus der Jahreszeiten und des schwingenden Pendels usw., darauf beruhen unsere Zeitmaße. Auditive Muster finden wir in der Musik, motorische im Tanz. Und nicht zuletzt ist unsere Gedankenwelt der Zahlen beherrscht von Mustern unterschiedlicher Art.
Schon in der 1. Klasse der GS kann und sollte die Unterscheidung in gerade und ungerade Zahlen (natürlich auf geometrische Art) erfahren und in wesentlichen Konsequenzen verfolgt werden, z. B. dass immer eine gerade Zahl "herauskommt", wenn man zwei ungerade Zahlen zusammenzählt (addiert). In höheren Klassen der GS können und sollen weitere Zahlenmuster untersucht werden, etwa der Aufbau von Quadratzahlen als Summe von ungeraden Zahlen, was in Kästchenbildern augenfällig wird.
(VgI. dazu : Winter, H. : Quadrat und Zahl, in: ML , Heft 106, S.19-22, 39-41)

Über Symmetrie gibt es eine Unmenge Literatur. Klassiker sind in meinen Augen:
Weyl, H.: Symmetrie, Birkhäuser 1955
Genz, H.: Symmetrie - Bauplan der Natur, Piper 1987
Tarassow, L.: Symmetrie - Symmetrie! Strukturprinzipien in Natur und Technik, Spektrum 1993

Man findet da sehr viele Anregungen für den MU , obwohl diese Bücher nicht von Schulleuten und auch nicht direkt für die Schule geschrieben wurden. Eine systematische didaktische Transformation des Symmetriewissens für die Belange der GS steht noch aus. Hier sei nur noch auf einen Punkt hingewiesen. Die "Behandlung" des Themas Symmetrie in der GS (die natürlich handlungs- und ästhetikorientiert sein muss), darf sich nicht auf Feststellungen beschränken, etwa von der Art: Jedes Rechteck hat zwei Symmetrieachsen (Faltachsen), die das Rechteck in 4 gleiche (deckungsgleiche) Teilrechtecke zerlegen.
Es muss nach Sinn und Bedeutung der Symmetrie gefragt werden. Warum haben so viele Gegenstände um uns herum rechteckige Form, bzw. warum treten rechteckige Formen an so vielen Gegenständen ( Türen, Fensterscheiben, Felder, Fußböden,...) auf? Erarbeitet werden kann: Rechtecke lassen sich auf einfache Art in Teilrechtecke zerlegen oder zu größeren Rechtecken zusammensetzen; Rechtecke können sehr verschieden geformt sein, von sehr schmal bis äußerst gedrungen (Quadrat); Rechte Winkel passen wegen der Hauptrichtungen lotrecht und waagerecht in unsere Welt.

Dass wir in der Tierwelt (den Menschen eingeschlossen) so gehäuft achsensymmetrische Querschnitte, oft sogar in erstaunlicher Exaktheit, antreffen, achsensymmetrische Längsschnitte dagegen fast gar nicht, hängt auch mit der Anpassung der Lebensweise an das Schwerefeld der Erde zusammen: achsensymmetrische Querschnitte ersparen Energie beim Aufrechterhalten der Gestalt, was man bis zur Schmerzgrenze an sich selbst erleben kann.

Und die Asymmetrie in Längsschnitten ist in der einseitigen Fortbewegung (immer der Nase nach) begründet.

Ein besonders lohnenswertes Untersuchungsfeld für Symmetrie ist die Welt der von Menschen hergestellten Dinge ( Häuser, Möbel, Behältnisse, Instrumente, Baumaterialien usw.). Wieso sind z.B. Ziegelsteine quaderförmig? Was spricht für rechteckige, was für quadratische, was für kreisformige Tischplatten?

Algorithmus

Ein Algorithmus ist so etwas wie ein Vorgehensplan, ein Rezept, ein Normalverfahren, eine gute Methode, ein Routineweg, um maximal sicher und effizient eine bestimmte Aufgabe zu erledigen. Etwas genauer: Ein Algorithmus ist eine geordnete Folge von klaren Vorschriften (Befehlen) und (evtl.) Abfragen, deren Einhaltung von einer gegebenen Startsituation (Gegebenes) zu einer angestrebten Zielsituation (Gesuchtes) gelangen lässt. Alltägliche Beispiele einfacher Art sind Telefonieren, Einkaufen, Kaffee kochen usw. , schon anspruchsvoller ist das Zusammenbauen eines Schrankes aus gelieferten Teilen (meist wird eine Beschreibung mitgeliefert, die, wenn sie gut ist, einen Algorithmus darstellt).

Es gibt unter dem Blickwinkel der möglichen Algorithmisierung eine riesige Bandbreite von Aufgaben (innerhalb und außerhalb der Mathematik): Von gar nicht algorithmisierbar über zahlreiche Zwischenstufen von Teilalgorithmisierbarkeit bis hin zur vollen Algorithmisierbarkeit. Der Hauptbestandteil der beruflichen Ausbildung besteht im Erlernen von mehr oder weniger algorithmisierten Routinen für die typischen berufsspezifischen Aufgaben. Wer solche Routinen sicher beherrscht, gilt als Profi, u.U. als Experte. Entscheidend ist hier die Effizienz. Anfallende Aufgaben sollen sicher und mit möglichst wenig Aufwand erledigt werden. Allerdings, in unserer Zeit wandeln sich die Aufgaben, gelernte Routinen reichen oft nicht mehr für das ganze Berufsleben aus.

Was aber macht Algorithmus als FI für den Mathematikunterricht in der GS aus? Inwiefern sind Algorithmen von grundlegender Bedeutung?

Man denkt sogleich an die Verfahren des mündlichen, halbschriftlichen und schriftlichen Zahlenrechnens. Tatsächlich bilden diese Prozeduren das Zentrum algorithmischen Arbeitens in der GS. Aber in welchem Sinne?
Man muss hier zwei Dinge klar unterscheiden: einen Algorithmus, wie etwa den zur schriftlichen Multiplikation, einigermaßen fehlerfrei, sicher und mit erträglicher Geschwindigkeit ausführen können einerseits, einen Algorithmus möglichst eigenständig entwickeln, ihn begründen, nach Bedarf modifizieren und situationsgerecht einsetzen können andererseits.
Das erstere (Rechenfertigkeit) wird heute angesichts der elektronischen Rechengeräte, die der menschlichen Rechenfertigkeit in puncto Sicherheit und Schnelligkeit extrem überlegen sind, vielfach als wenig bedeutsam angesehen ( wie überhaupt schon immer algorithmisches Rechnen als sehr niedrige Geistestätigkeit angesehen wurde und wird: phantasielos, geistlos, mechanisch, maschinenhaft). Tatsächlich können Rechenfertigkeiten heute weniger denn je mit dem Hinweis auf die spätere Lebenspraxis gerechtfertigt werden. Allerdings kann man auch leicht das Kind mit dem Bade ausschütten.
Erstens kann man Verstehen und Können nicht so ohne weiteres strikt trennen. Rechenpraxis kann auch ein Übungs- und Bewährungsfeld für Verstehensakte sein, Verstehen gibt es nicht auf einer tabula rasa.
Zweitens darf die emotionale Komponente nicht unterschätzt werden , etwas Schwieriges sicher zu meistern ist schlicht und einfach lustvoll.
Dennoch, mehr als bisher üblich, kommt es auf das möglichst eigenständige Erarbeiten, das Begründen, Modifizieren und Bewerten von mehr oder weniger algorithmisierten Prozeduren an. Das ist die genuin mathematische Seite. Wie die schriftlichen Rechenverfahren im Unterricht von den Schülerinnen mit einem hohen Maß von Eigenständigkeit erarbeitet werden können, hat u.a. der Niederländer A. Treffers (aus dem Umkreis von FreudenthaI) überzeugend gezeigt (Treffers, A.: Fortschreitende Schematisierung, ein natürlicher Weg zur schriftlichen Multiplikation und Division im 3. Und 4. Schuljahr, in: ML H.1, 1983).

Seitdem gilt die fortschreitende (und von den Schülerinnen getragene!) Schematisierung als ein wichtiges Lernprinzip für den MU überhaupt. Die früher übliche allein vom Lehrer inszenierte schwierigkeitsgradig gestufte Vorgehensweise (zuerst Aufgaben mit einstelligem Multiplikator, dann Aufgaben mit Stufenzahlen als Multiplikator usw.) wird hier radikal aufgegeben.
Stattdessen werden die Schülerinnen sofort mit einem Problem konfrontiert (zur schriftlichen Multiplikation etwa mit der Frage, wie viele Stunden im Laufe eines Jahres vergehen), das es notwendig macht, neue Wege zu versuchen.
Die Erarbeitung eines zweckmäßigen Verfahrens zur Bewältigung solcher Fragen ist objektiv motiviert. Wenn dann, um im Beispiel zu bleiben, die Aufgabe 365 · 24 formuliert worden ist, werden die Schülerinnen unterschiedliche Wege zu ihrer Lösung gehen, etwa - und das geschieht wirklich - als schriftliche Additionsaufgabe mit 24 Summanden je 365 lösen. Andere Schülerinnen finden schon gleich einen kürzeren Weg, etwa 10 · 365, das verdoppeln, dann noch 4 · 365 dazu fügen.
Die verschiedenen Wege werden unter den Gesichtspunkten Übersichtlichkeit, Einfachheit und Sparsamkeit in räumlicher und zeitlicher Hinsicht verglichen, wir gestalten eine fortschreitende Schematisierung.

Das anspruchsvollste Unternehmen im MU der GS ist die schriftliche Division. Es gibt Bestrebungen, Dividieren in der GS auf einstellige Divisoren zu beschränken und schwierigere "Fälle" dem MU der Sekundarstufe zu überlassen. Das darf nicht hingenommen werden, vor allem dann nicht, wenn dabei auf die mangelnde Lebensbedeutsamkeit verwiesen wird. (Wer wird schon einmal in seinem späteren Leben eine schriftliche Division ausführen müssen?)
Wenn dieses Argument schlüssig sein sollte, dann träfe es auch für den MU der Sekundarstufen zu. Und es würde noch viele weitere Unterrichtsgegenstände aus dem MU verbannen. Eine Einschränkung der Division auf einstellige Divisoren käme einer nicht legitimierbaren und nicht verantwortbaren mathematischen Verarmung gleich. (Die Division durch eine einstellige Zahl stellt kein Verfahrensproblem dar.)
Wie Erfahrungen zeigen, lässt sich auch die schriftliche Division im Sinne einer fortschreitenden Schematisierung verständnisvoll entwickeln. Wenn z.B. aus einem Jahreseinkommen von 19500 Euro das durchschnittliche Monatseinkommen ermittelt werden soll, was auf die Aufgabe 19500 : 12 führt, so haben die Schülerinnen zahlreiche Möglichkeiten, sinnvolle Schritte in Richtung einer Lösung zu gehen, z.B. überschlagen (Es sind mehr als 1000 Euro und weniger als 2000 Euro pro Monat) oder in Schritten vorgehen (zuerst das Halbjahres- dann das Monatseinkommen) oder sich multiplikativ einer Lösung näheren (12 · 1800 = 21600, zu viel; 12 · 1700 = 20400, noch immer zu viel; usw.) und andere Möglichkeiten.
Der schwierigste Punkt der anzustrebenden Prozedur ist die stellengerechte Ermittlung der Teilquotienten, vor allem bei mehrstelligen und nicht schwellennahen Divisoren (etwa in der Aufgabe, das durchschnittliche Tageseinkommen zu bestimmen). Hier sollte den Schülerinnen die Möglichkeit belassen werden (die sie selbst auch vorschlagen) die 2 bis 9-fachen des Divisors gesondert aufzuschreiben und dann für das Bestimmen der Teilquotienten zu nutzen. Dieser ad-hoc-Speicher erhöht zwar den Aufwand, liefert aber mehr Sicherheit, was natürlich auch zu besprechen ist.

Das ganze Unternehmen "schriftliche Division" bietet - ungeachtet seiner enormen Bedeutung für das Sachrechnen - eine Fülle von Möglichkeiten, sich vertieft und argumentativ mit Zahlen, auch mit größeren und großen, zu befassen. Z. B. kann das Problem verfolgt werden, ob eine vorgegebene Zahl, wie z.B. 9797, eine Primzahl ist. Zum Beherrschen des Divisionsalgorithmus (wie eines jeden) gehört auch, sich von ihm bei Bedarf befreien zu können. So sollten die Schülerinnen ermuntert werden, Aufgaben wie 300 : 25 oder 10000 : 500 ohne jeden Anschrieb im Kopf zu lösen (etwa 100 : 25 = 4, dann also (!) 300 : 25 = 12).

Schließlich: Algorithmus als FI ist nicht auf das übliche Zahlenrechnen beschränkt. Man kann z.B. in der GS auch algorithmusartige Verfahrensweisen (durch fortschreitende Schematisierung) zum lexikographischen Ordnen allgemein entwickeln oder zur geometrischen Frage, auf welche Art man allein über Falten und Schneiden aus einem rechteckigen Blatt Papier ein gleichseitiges Dreieck gewinnen kann. Der Aufschrieb in Form von Flussdiagrammen kann die Vorstellung vom algorithmischen Prozessieren bestärken.

Messung

Allein schon das Wortfeld "messen" weist auf Weite, Fülle und Sinn hin: abmessen, vermessen, maßvoll, maßlos, unangemessen,....

Im MU der GS ist Messen, und zwar empirisches (was leider stark vernachlässigt wird) und gedankliches Messen, die unverzichtbare Basis zum Aufbau von Größenbegriffen (Stückzahlen, Geldwerte, Längen, Flächeninhalte, Rauminhalte, Winkel, Zeitspannen, Temperaturen, Gewichte, Geschwindigkeiten) und damit für das Verstehen von Phänomenen unserer Welt, uns selbst mit Leib und Seele eingeschlossen.

Wie das Messen in seinen verschiedenen Facetten und Formen den gesamten MU der GS durchziehen sollte, habe ich in zahlreichen Zeitschriftenartikeln und in dem Büchlein Sachrechnen in der Grundschule, Cornelsen Verlag versucht darzustellen. Haupttendenz: So lebensnah wie möglich (aber nicht noch lebensnäher) und so mathematiknah wie förderlich.

Näherung (Approximation)

Hier geht es um Begriffe wie Nachbarschaft, Umgebung, Begrenzung, Beschränkung, Zusammenhang u.ä., also Begriffe, die in der Alltagserfahrung Bedeutung haben und in verschiedener Weise mathematisch ausdifferenziert werden können (am systematischsten in der mathematischen Disziplin Topologie).

Im Arithmetikunterricht der GS gehören Überschlagen, Runden und Näherungsrechnen zum Standard. Es sollte speziell zur guten Gewohnheit werden, Aufgabenlösungen durch Überschläge zu kontrollieren. Dazu sind Erfahrungen mit Zahlabschnitten (Intervallen) wichtig und mehr und mehr bewusst zu machen. Beispiel: Wenn zwei Zahlen, die zwischen 20 und 30 liegen, miteinander multipliziert werden, dann ist das Ergebnis eine Zahl zwischen 400 und 900. Oder: Wenn eine Zahl ganz in der Nähe von 100 liegt, dann liegt ihr Doppeltes auch in der Nähe von 200 (Keim der Stetigkeit!).

Im Sachrechnen haben wir es in der Regel mit Näherungswerten oder mit zufallsbehafteten schwankenden Werten zu tun. Es muss immer wieder die Reichweite von Aussagen über Dinge dieser Welt, die quantitative Angaben enthalten, diskutiert werden. Was bedeutet es z. B. , wenn die Entfernung zwischen zwei Städten mit 120 km angegeben wird? Oder das durchschnittliche Sterbealter von Menschen mit 74 Jahren? Was kann es kann es genauer heißen, wenn Vanessa im Jahre 1993 und Ulrike im Jahre 1994 geboren wurde? Wann ist es wichtig, dass eine Größe exakt angegeben wird, wann ist ein Näherungswert sinnvoll? Näherung im Geometrieunterricht der GS: benachbarte Seitenflächen, zusammenstoßende Kanten, innere, äußere, Randpunkte, Umgebungen, Umfänge usw.

Funktion

Über die herausragende Bedeutung des Funktionsbegriffs in allen Gebieten der Mathematik braucht hier nichts weiter gesagt zu werden, wenn es auch bemerkenswert ist, dass erst im 18. Jh. Funktionen zu einem Begriff wurden, zu mathematischen Objekten, die zu untersuchen sind.

Allgemein handelt es sich um eine Funktion, wenn jedem Element einer Menge genau ein Element einer (nicht notwendig anderen) Menge durch eine Vorschrift zugeordnet ist. Diese Zuordnung kann willkürlich festgelegt werden, oder durch Zufall gesteuert werden (jedem Wurf einer Serie mit zwei Würfeln die Augensumme z.B.) oder durch eine gesetzmäßige Bindung gestiftet werden (jeder Zahl ihr Doppeltes oder ihr Nachfolger oder ihre Quersumme, jedem Zahlenpaar die Summe oder das Produkt, jedem Quadrat sein Flächeninhalt oder sein Umfang, jeder Ware ihren Preis (Auszeichnungspflicht!), jedem lebenden Menschen sein heutiges Alter oder sein Geburtsort oder seine Mutter, jedem Zeitpunkt des Tages eine Zeigerstellung der Uhr, usw. usw.). Weite und Fülle sind unbestreitbar.

Die gesetzmäßige Bindung, der wohl wichtigste Fall, kann speziell kausaler Art im physikalischen Sinne sein. So ist die Länge des Bremsweges eines abgebremsten Pkw (auch) eine Funktion der Geschwindigkeit des Pkw zu Beginn des Bremsvorganges, ein übrigens wichtiges Beispiel im Sachrechnen der GS (Tempo 30 und Schulweg!).

Man kann in der GS nicht zu einer Begriffsklärung von Funktion kommen, aber der Unterricht muss in Inhalt und Gestaltung von der Idee der Funktion (funktionales Denken) durchdrungen sein. In der Arithmetik können z.B. Folgen (das sind spezielle Funktionen) studiert werden, wobei sich die Schreibweise in Doppellisten anbietet. Etwa die Folge er Quadratzahlen

Zahl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Ihre Quadratzahl 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121

Wie geht es weiter? Wie schreitet die Quadratzahlenfolge fort? Wie folgt eine Quadratzahl aus ihrer Vorgängerin?

Im Sachrechnen wird durch die funktionale Sicht die in der Sachsituation obwaltende Gesetzmäßigkeit, die es aufzudecken gilt, besonders deutlich.

Wenn es z. B. um das Lesen eines Buches von bestimmter Seitenzahl, etwa 160 Seiten, geht, so interessiert, wie die täglich zu erbringende (durchschnittliche) Leseleistung von der gewählten Anzahl der Lesetage abhängt. Das Durchspielen aller (ganzzahligen) Fälle zeigt den funktionalen Zusammenhang in einer gegenläufig symmetrischen Doppelliste:

Anzahl Lesetage .....1 2 4 5 8 10 16 20 32 40 80 160

Tägl. Anzahl Seiten 160 80 40 32 20 16 10 8 5 4 2 1

Diese ist natürlich mathematisch-sachkundlich zu untersuchen. Sie ist übrigens auch vorwärts weisend: Es gibt ein gutes, ja zwingendes Motiv, mit Bruchzahlen zu arbeiten.

Teil-Ganzes-Relation

Hier handelt es sich um eine FI, die mit grundlegenden logischen und heuristischen Fragestellungen zu tun hat, die ihrerseits in verschiedenen mathematischen Gebieten auftreten und auch im alltäglichen Denken und Handeln eine Rolle spielen.

Bezüglich Mengen im mathematischen Sinne handelt es sich um die Teilmengenrelation, und damit korrespondiert die logische Folgerungsbeziehung. Das sieht auf den ersten Blick eher speziell und wenig allgemein bedeutsam aus. Dem ist aber ganz und gar nicht so.

Immer, wenn es um eine Gesamtheit von Objekten irgendwelcher Art geht, etwa um eine Menge von Menschen, versucht man, darin Strukturen, Muster, Auffälligkeiten zu erkennen. Eine fundamentale Frage ist dabei, inwieweit sich Objekte durch bestimmte Eigenschaften (Merkmale) von anderen der Gesamtheit unterscheiden. Handelt es sich z.B. um die Kinder der Klasse, und damit sind wir beim Sachrechnen in der GS, so kann je nach Gesprächsthema interessieren: Wer ist schon 8 Jahre alt? Wer ist Mitglied in einem Sportverein? Bei wem zählt Bücherlesen zu seinen Lieblingsbeschäftigungen? Wer hat in diesem Schuljahr noch an keinem Tag gefehlt? Usw. Jede hinreichend präzise Eigenschaft führt zur Bildung einer Teilmenge, die in den Extremen auch leer sein kann oder die Gesamtheit ausmacht. Es kommt indes nicht auf eine Wiederbelebung der Mengenlehre seligen Angedenkens mit ihren Trockenübungen zur Eintrichterung der Mengensprache an, sondern auf logische und arithmetische Aspekte in ihrem Zusammenwirken.

Beispiel: Es kann bei Gelegenheit die Behauptung geäußert werden, Mädchen seien lesefreudiger als Jungen. Dieser Behauptung können wir durch eine anonyme Befragung in unserer Klasse nachgehen, etwa so: Jedes Kind notiert auf einem Zettel sein Geschlecht (M oder J) und ob Bücherlesen eine seiner Lieblingsbeschäftigungen ist (L oder N). Die Auswertung wird zweckmäßigerweise an einer Vierfeldertafel vorgenommen, wobei klar heraus gearbeitet wird, dass genau 4 Fälle auf ein Kind zutreffen können( M und L, J und L, M und N, J und N), denen die 4 Felder zugeordnet werden. .Spannend ist es nun, zu verfolgen, wie sich die Kinder unserer Klasse, ohne dass wir wissen, um wen es sich je handelt, auf die 4 Felder verteilen. War das Ergebnis zu erwarten? Passt das Ergebnis zur Behauptung? Was ist besonders auffällig? Usw. Vor allem muss diskutiert werden, was alles möglich gewesen wäre, insbesondere an extremen Fällen. Was ist z. B., wenn eins der 4 Felder leer bleibt, etwa das Feld mit J und L? Es gäbe dann keinen Jungen, zu dessen Lieblingsbeschäftigungen Bücherlesen gehört. Alle Kinder, die sehr gern lesen, wären dann Mädchen. Aber wären dann auch alle Mädchen Leseratten? Nein, es wäre ja sogar möglich, dass auch das Feld mit M und L leer ist, dann gäbe es in der Klasse überhaupt kein Kind, das sehr gern liest. Usw. Die Vierfeldertafel ist jedenfalls ein Instrument von erstaunlicher Leistungsfähigkeit im Überschneidungsgebiet von Logik und Statistik.

"Einfacher" als dieses Beispiel von doppelter Unterteilung aber doch auch reizvoll, sind Problemaufgaben der folgenden Art: Eine GS wird von 181 Kindern besucht, es sind 7 Mädchen weniger als Jungen. Wie viele Mädchen/Jungen besuchen diese Schule? (Oder: Wie alt ist die Rektorin?) Zu lösen natürlich ohne Gleichungsformalismus, vielmehr über eine anschauliche Darstellung, die den Zusammenhang auf den Punkt bringt:

Mädchen MMMM......M

Jungen. J J J J ......J J J J J J J J

Die Teil-Ganzes-Relation als Teilmengenrelation in der Arithmetik: Ab der 2. Klasse interessieren u.a. Fragen des Multiplizierens und Dividierens. Welche Zahlen (etwa von allen unter 100) sind durch 7 teilbar (= Vielfache von 7), welche sind durch 5 aber nicht durch 8 teilbar, welche sind Nachbarn von Zahlen, die durch 6 teilbar sind,... ? Eine schier unerschöpfliche Menge von Fragen. Zusammenhänge aufzudecken, ist dabei das wesentliche, etwa: Wenn eine Zahl durch 8 teilbar ist (= in der Achterreihe vorkommt), dann ist sie auch (und erst recht) durch 4 teilbar (aber nicht umgekehrt!). Die durch 8 teilbaren Zahlen machen einen Teil der durch 4 teilbaren aus, Achterzahlen sind spezielle Viererzahlen. Von 1 bis 100 gibt es 24 Viererzahlen, 12 davon sind auch Achterzahlen (Zusammenhang Teiler-Relation und Teilmengenrelation!).

Die Teil-Ganzes-Relation als Teilmengenrelation im Geometrieunterricht: Geht es um flächige (ebene) Figuren, so interessieren Merkmale, die sich auf die Flächengröße oder den Umfang oder die Gestalt oder....beziehen. Allein wirklich einzusehen, dass Quadrate spezielle Rechtecke (und Rechtecke spezielle Vierecke und Vierecke spezielle ...) sind, ist eine lohnende geistige Bemühung, die wie die Praxis lehrt, keinesfalls trivial ist. In einer Klasse hat einmal eine Schülerin die Sache so auf den Punkt gebracht: "Quadrat und Rechteck, das ist so wie Schimmel und Pferd".

Prof. Heinrich Winter, Juli 2001